Rechner zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Brüche addieren und subtrahieren, Schritt für Schritt

Brüche können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie einen gemeinsamen Nenner haben — und genau darin liegt die größte Schwierigkeit. Dieser Rechner verarbeitet zwei Brüche gleichzeitig und zeigt die Summe und die Differenz in gekürzter Form, als gemischte Zahl, als Dezimalzahl und mit dem vollständigen Rechenweg. Für eine verwandte Berechnung kann auch Rechner für absolute Veränderung nützlich sein.

Warum Brüche einen gemeinsamen Nenner brauchen

Man kann Hälften und Drittel nicht direkt addieren, genauso wenig wie man „zwei Äpfel und drei Orangen" addieren und das Ergebnis fünf von irgendetwas nennen kann. Die Stücke sind unterschiedlich groß.

Ein gemeinsamer Nenner schreibt beide Brüche so um, dass ihre Stücke gleich groß sind — dann kann man einfach die oberen Zahlen addieren oder subtrahieren. Wenn man 1/2 und 1/3 in 3/6 und 2/6 umwandelt, werden sie vergleichbar: Jetzt sind beide Sechstel, und 3/6 + 2/6 = 5/6.

Der Nenner gibt bekanntlich an, in wie viele gleiche Stücke das Ganze geteilt wird; der Zähler zählt, wie viele dieser Stücke man hat. Zwei Brüche können nur kombiniert werden, wenn ihre Ganzen auf dieselbe Weise geschnitten sind — genau das erreicht das Angleichen der Nenner. Sobald die Stücke identisch sind, ist Addieren oder Subtrahieren nur noch Zählen.

So verwenden Sie diesen Rechner

1. 1

   Geben Sie den ersten Bruch ein

   Seinen Zähler (oben) und Nenner (unten).

2. 2

   Geben Sie den zweiten Bruch ein

   Wieder Zähler und Nenner.

3. 3

   Lesen Sie das Ergebnis

   Sie erhalten sowohl die Summe als auch die Differenz, gekürzt, plus die gemischte Zahl und Dezimalform sowie die Schritte.

Absolutwert-Rechner deckt ähnliches Terrain ab, falls das gesucht wird.

Die Methode

Das Multiplizieren der Nenner ergibt immer einen gemeinsamen Nenner, aber nicht immer den kleinsten. Der Rechner kürzt das Endergebnis mithilfe des größten gemeinsamen Teilers, sodass das Ergebnis so sauber wie möglich ist.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Addieren Sie 3/4 und 2/3:

Gemeinsamer Nenner 12: 3/4 wird zu 9/12 und 2/3 wird zu 8/12. Addition ergibt 17/12, also 1 5/12 als gemischte Zahl, oder etwa 1,4167.

Ein ähnlicher Ansatz kommt bei Additionsrechner zum Einsatz.

Die verschiedenen Formen lesen

Dieselbe Antwort kann auf mehrere Arten geschrieben werden, und jede ist in einem anderen Zusammenhang nützlich. Der unechte Bruch (17/12) ist das natürliche Ergebnis der Rechnung. Die gemischte Zahl (1 5/12) ist leichter vorstellbar — es ist ein Ganzes und etwas mehr. Die Dezimalzahl (1,4167) ist praktisch für Messungen oder wenn man mit anderen Zahlen vergleichen muss.

Keine ist „richtiger" als die anderen; sie sind derselbe Wert in unterschiedlicher Kleidung. Der Rechner zeigt alle, sodass Sie diejenige verwenden können, die zu Ihrer Aufgabe passt.

Ein Subtraktionsbeispiel

Subtraktion funktioniert identisch. Nehmen Sie 3/4 − 2/3: mit dem gemeinsamen Nenner 12 ist das 9/12 − 8/12 = 1/12. Die Reihenfolge spielt hier eine Rolle — anders als bei der absoluten Veränderung ergibt die Bruchsubtraktion ein negatives Ergebnis, wenn der zweite Bruch größer ist, sodass 2/3 − 3/4 −1/12 ergeben würde.

Der Rechner verarbeitet auch negative Zähler und Nenner, sodass Sie in beide Richtungen subtrahieren und das korrekte vorzeichenbehaftete Ergebnis erhalten können.

Kleinster gemeinsamer Nenner vs. einfaches Multiplizieren

Das Multiplizieren der beiden Nenner ergibt immer einen gemeinsamen Nenner, aber nicht immer den kleinsten. 1/4 und 1/6 durch Multiplikation zu addieren ergibt einen Nenner von 24, während der kleinste gemeinsame Nenner nur 12 ist.

Beide Wege führen zum selben gekürzten Ergebnis, aber der Start mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner hält die Zahlen kleiner und die Rechnung unterwegs einfacher. Dieser Rechner verwendet den einfachen Ansatz „multiplizieren, dann kürzen", der zuverlässig ist und immer beim vollständig gekürzten Ergebnis landet — Sie erhalten also so oder so die saubere Antwort, ohne selbst nach dem kleinsten Nenner suchen zu müssen.

Ein echtes Rezeptbeispiel

Angenommen, ein Rezept benötigt 3/4 Tasse Mehl für den Teig und 1/2 Tasse zum Bestäuben, und Sie möchten die Gesamtmenge wissen. Das Addieren von 3/4 und 1/2 mit dem gemeinsamen Nenner 4 ergibt 3/4 + 2/4 = 5/4, also 1 1/4 Tassen.

Das ist Bruchaddition bei der alltäglichen Arbeit. Die gemischte Zahlform ist das, was man tatsächlich an der Küchentheke verwenden würde — eineinviertel Tassen — während der unechte Bruch 5/4 nur der Zwischenschritt ist. Kochen, Rezepte hoch- oder herunterskalieren und Maße kombinieren gehören zu den häufigsten echten Gründen, warum Menschen Brüche addieren. Die gleiche Logik findet sich bei Flächengröße-Rechner (Acres) wieder.

Der Umgang mit negativen Brüchen

Brüche können negativ sein, und die Regeln ändern sich nicht — nur die Vorzeichen erfordern Sorgfalt. Das Subtrahieren eines größeren Bruchs von einem kleineren ergibt ein negatives Ergebnis, und der Rechner gibt es korrekt mit dem Minuszeichen am Zähler an.

Ein negativer Bruch wie −1/12 bedeutet einfach ein Zwölftel unter null, genauso wie −5 fünf unter null auf dem Zahlenstrahl liegt. Ob Sie einen negativen Zähler direkt eingeben oder durch Subtraktion darauf kommen, die Methode, einen gemeinsamen Nenner zu finden und die oberen Zahlen zu kombinieren, funktioniert genau wie zuvor.

Wo dies vorkommt

Brüche sind überall, sobald man genauer hinsieht. Beim Kochen ist das Kombinieren von 1/2 Tasse und 1/3 Tasse einer Zutat eine Bruchaddition. Im Bauwesen und Heimwerken erfordert das Addieren von Brettlängen wie 5/8 Zoll und 3/16 Zoll einen gemeinsamen Nenner. In der Schule ist das Addieren und Subtrahieren von Brüchen eine grundlegende Fähigkeit, auf der spätere Mathematik aufbaut.

Der schrittweise Rechenweg macht ihn zu einer echten Lernhilfe, nicht nur zu einer Antwortmaschine — zu sehen, wie der gemeinsame Nenner gebildet und das Ergebnis gekürzt wird, ist genau das, was einen kämpfenden Schüler zu einem selbstbewussten macht.

Es ist auch eine nützliche Kontrolle für jeden, der die Rechnung von Hand macht. Bearbeiten Sie ein Problem auf Papier und vergleichen Sie es dann mit den Schritten des Rechners, um genau herauszufinden, wo sich ein Fehler eingeschlichen hat — eine weit bessere Art zu lernen, als einfach eine richtige Antwort ohne Erklärung zu sehen, wie sie erreicht wurde.

Das Ergebnis kürzen

Ein Bruch wie 8/12 kann auf 2/3 gekürzt werden, indem man Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, 4, teilt. Kürzen ändert den Wert nicht — 8/12 und 2/3 sind dieselbe Menge — aber es zeigt die Antwort in ihrer saubersten Form.

Dieser Rechner kürzt automatisch, sodass Sie den gemeinsamen Faktor nie selbst finden müssen. Deshalb wird die Summe von 3/4 und 2/3 als 17/12 angezeigt und nicht als größerer, ungekürzter Bruch.

Häufige Fehler

• Direktes Addieren ohne gemeinsamen Nenner. 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Sie müssen zuerst auf einen gemeinsamen Nenner umrechnen.
• Die Nenner addieren. Die Nenner werden zum gemeinsamen Nenner; Sie addieren sie nicht. Nur die Zähler werden addiert.
• Das Kürzen vergessen. Ein korrektes, aber ungekürztes Ergebnis wie 10/12 sollte normalerweise als 5/6 geschrieben werden.

Diese Art von Fehler kommt auch bei Acres-zu-Quadratmeilen-Rechner vor.

Genauigkeit & Grenzen

Die Bruchergebnisse sind exakt — keinerlei Rundung, da Brüche Werte präzise darstellen. Die Dezimalform ist die einzige Näherung, gezeigt auf einige Stellen, weil manche Brüche (wie 1/3) nicht exakt als endliche Dezimalzahl geschrieben werden können.

Der Rechner arbeitet mit zwei Brüchen gleichzeitig. Um drei oder mehr zu addieren, kombinieren Sie sie paarweise — addieren Sie die ersten beiden, dann addieren Sie den dritten zu diesem Ergebnis — wobei dieselben Regeln durchgehend gelten.

Verwandte Konzepte

Der kleinste gemeinsame Nenner ist der kleinste gemeinsame Nenner, der die Zahlen kleiner hält als das einfache Multiplizieren der Nenner. Der größte gemeinsame Teiler wird verwendet, um den endgültigen Bruch zu kürzen. Eine gemischte Zahl kombiniert eine ganze Zahl und einen Bruch, und ein unechter Bruch ist einer, dessen Zähler seinen Nenner übersteigt — zwei Formen desselben Werts, zwischen denen dieser Rechner umrechnet. Für weitere Berechnungen steht auch Ballonbogen-Rechner auf der Seite bereit.